浮点数的表示

1. 浮点数的表示格式
N = × M ×
S取值为0或者1，用来决定浮点数的符号；M是一个二进制定点小数，称为尾数，一般用定点原码小数表示;E为一个二进制定点整数，称为阶码或指数，用移码表示。R是基数（隐含），可以约定为2、4、16等。
即浮点数由符号、尾数和阶码三部分组成。

2. 浮点数的表示范围
浮点数和原码相同，都是关于原点对称的。



若运算结果大于最大正数时称为上溢出，小于绝对值最大负数时称为负上溢，两者统称为上溢。当运算结果在0至最小正数之间时称为正下溢，在0至绝对值最小负数之间时称为负下溢。两者统称下溢。

3. 浮点数规格化
通过调整一个非规格化浮点数的尾数和阶码的大小，使非零浮点数在尾数定点最高位上保证是一个有效值。
左规：当运算结果的尾数的最高数位不是有效位，即出现士0.0...0×...的形式时，需要进行左规。左规时，尾数每左移一位、阶码减1（基数为2时）。左规可能要进行多次。
右规：当运算结果的尾数的有效位进到小数点前面时，需要进行右规，右规只需进行一次。将尾数右移一位、阶码加1（基数为2时）。右规时，阶码增加可能导致溢出。

4. IEEE 754标准
此标准下的浮点数格式如下：

单精度格式中包含1为符号s、8位阶码e和32位尾数f；双精度格式包括一位符号位s、11位阶码 e和52为尾数f。基数隐含为2。

对于规格化的二进制浮点数，尾数的最高位总是1.为了能使尾数多一位有效位，将这个1隐藏，称为隐藏位，因此23位尾数实际表示了24位有效数字。

💡

在IEEE 754规定隐藏位1的位置在小数点之前 如： ，将其规格化后为 1.1× ,其中整数部分的1将不存储在23位尾数内。

规格化单精度浮点数的阶码e的表示范围位1~254(8位）；规格化双精度浮点数的阶码e的取值范围为1~2046（11位）。

阶码全为0或全为1的特殊意义：

1. 全0阶码全0尾数：+0/-0。零的符号却决于符号s，一般情况下两者相等。

2. 全1阶码全0尾数：+∞/-∞

3. 全1阶码非0尾数：NAN。无定义，为非数。

4. 全0阶码非0尾数：非规格化数

实数与IEEE 754 单精度数的相互转化：

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1. 定点、浮点表示的区别
1. 数字表示范围
浮点数表示范围远大于定点表示法
2. 精度
在相同字长下，浮点数虽然扩大了数的表示范围，但是精度降低了。
3. 数的运算
浮点数包括阶码和尾数两部分。运算时不仅要做尾数运算，还要做阶码运算，而且运算结果要规格化。
4. 溢出问题
浮点数运算是阶码运算和尾数运算分开进行，浮点数加减运算分为：
1. 对阶：使两个操作数定点小数点位置对其，即使得两个数的阶码相等。
2. 尾数相减：将对阶后的尾数按定点原码小数的加减运算规则进行运算
3. 尾数规格化:尾数相加减后可能得到多种结果，如：左规和右规划。
4. 舍入：在对阶和尾数右规时，可能会对尾数进行右移，为保证运算精度，一般将移出的部分低位保留下来，参加中间过程的运算，最后再将运算结果进行舍入，还原表示成IEEE754格式。
有如下四种舍入模式：
• 就近舍入：舍入为最近的可表示数。当运算结果正好在两个可表示数的中间时，选择结果为偶数。
如：1.2400×10²+ 0.0050×10²= 1.2450×10²
• 正向舍入：朝+∞方向舍入，即取右边最近的可表示数。
• 负向舍入：朝-∞方向舍入
• 截断法：直接阶段所需位数，丢弃后面的所有位。
5. 溢出判断
若一个正指数超过了最大允许值（127或1023），则发生指数上溢，产生异常。若一个负指数超过了最小允许值（-149或-1074），则发生指数下溢，通常把结果按机器零处理。
• 右规和尾数舍入。数值很大的尾数舍入时，可能因为末位加1而发生尾数溢出，此时需要通过右规来调整尾数和阶码。右规时阶码加1，导致阶码增大，因此需要判断是否发生了指数上溢。当调整前的阶码为11111110时，加1后，会变成111111而发生指数上溢。
• 左规。左规时阶码减1，导致阶码减小，因此需要判断是否发生了指数下溢。其判断规与指数上溢类似，左规一次，阶码减1，然后判断阶码是否为全0来确定指数是否下溢。由此可见，浮点数的溢出并不是以尾数溢出来判断的，尾数溢出可以通过右规操作得到纠正。

C语言中的浮点数类型

1. int 转为 float ，不会发生溢出，但是会影响精度

2. int 或 float 转 double时，能够保留精确度

3. double 转 float ，进行大数转换时可能会发生溢出。

4. float 或 double 转 int ，int 无小数位，发生截断进行舍入，可能会溢出。